t检验临界值 （CFA教材详解）时间序列预测的链式法则，以预测美国的CPI为例

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时间序列的均值回归

我们说，如果一个时间序列的水平在高于其均值时趋于下降，而在低于其均值时趋于上升，那么它就表现出均值回归。就像恒温器控制的房间里的温度一样，均值回归时间序列往往会回到它的长期均值。我们如何确定时间序列趋向的值?

如果一个时间序列当前处于均值回归水平，那么该模型预测下一个时间段的时间序列值将是相同的。在均值回归的水平t检验临界值，我们有关系xt+1= xt。对于AR(1)模型(xt+1= b0 + b1xt)，xt+1= xt的等式意味着级别xt= b0 + b1xt，或者均值恢复级别xt由

xt= b0 / (1 – b1)

因此AR(1)模型预测，当期值为b0/(1- b1)时时间序列不变，当期值小于b0/(1- b1)时时间序列增大，当期值大于b0/(1- b1)时时间序列减小。

以英特尔的毛利率为例，模型的均值回归水平为0.1795/(1- 0.7449)=0.7036。如果当前毛利率高于0.7036，模型预测毛利率将在下一时期下降。如果当前毛利率低于0.7036，该模型预测毛利率将在下一时期上升。我们将在后面讨论，所有协方差平稳时间序列都有一个有限的均值回归水平。

多周期预测与预测的链式法则

通常，金融分析师希望对多个时期的数值进行预测。例如，我们可能希望使用季度销售模型来预测公司未来四个季度的销售额。为了使用时间序列模型对一个以上的周期进行预测，我们必须研究如何使用AR(1)模型进行多周期预测。AR(1)模型对xt的单周期预测模型如下:

xt+1=^b0+^b1xt

如果我们想使用AR(1)模型预测xt+2，我们的预测将基于

xt+2= ^b0+^b1xt+1

但是，我们不知道xt+1在t周期的情况，所以我们不能直接用方程进行两期预测。但是，我们可以使用xt+1的预测和AR(1)模型来预测xt+2。预测的链式法则是指将方程所预测的下一个周期的值代入预测方程，提前两个周期给出预测值的过程。使用链式法则，我们可以将xt+1的预测值代入公式，获得^xt+2的值。

多周期预测比单周期预测的不确定性更大，因为每个预测值都有不确定性存在。一般来说，预测的周期越长，它的不确定性就越大。

案例 建立美国CPI的通胀模型

分析师打算建立美国月度通胀的时间序列模型，选择从1984年1月到2013年12月的30年期间的CPI每月同比变化作为基础数据。那么，我们应该使用哪种模型呢?

模型选择的过程与之前我们介绍的关于英特尔毛利率的过程类似。我们估计的第一个模型是AR(1)模型，使用前一个月的通胀率作为自变量:通胀率t= b0 + b1通胀率t-1+εt，t=1,2,…, 359。下表给出了该模型的估计结果。

如上表所示，截距（^b0=1.5703）和通货膨胀率第一个滞后值的系数（^b1=0.4510）都具有很高的统计显著性，且t统计量较大。该模型具有359个观测值和两个参数，357个自由度。t统计量在0.05的显著性水平下的临界值约为1.97。因此，我们可以拒绝截距等于0（b0= 0）且滞后系数等于0（b1= 0）的原假设，支持二者不都为0的备择假设。

这些统计数据有效吗？我们接下来检验该模型的残差是否序列相关。在此样本中有359个观测值，每个估计的自相关系数的标准误为1/√359=0.0528。t统计量的临界值为1.97。因为第二个和第三个估计的自相关系数的t统计量的绝对值都大于1.97，所以我们得出结论，自相关系数与0显著不同。因此该模型被错误指定，因为残差是序列相关的。

如果自回归模型中的残差是序列相关的，则我们可以通过估计自变量滞后更多的自回归模型来消除序列相关性。下表显示了估计第二个时间序列模型AR(2)的结果。该模型使用的数据与此前相同t检验临界值，具有358个观测值和三个参数，355个自由度。因为自由度几乎与此前相同，所以t统计量在0.05显著性水平下的临界值也几乎相同（1.97）。如果我们用两个滞后值来估计方程，则通胀率t=b0+b1通胀率t-1+b2通胀率t-2+εt，我们发现回归模型中的所有三个系数（一个截距和两个因变量的滞后系数）与0明显不同。下表的底部显示，残差的前四个自相关系数的绝对值都不大于临界值1.97的t统计量。因此，我们不能拒绝残差的各个自相关系数等于0的假设。由于我们没有找到残差序列相关的证据，因此该模型可以被看作已经正确指定。

分析师选择了AR（2）模型，因为AR（1）模型的残差是连续相关的。假设在给定的月份中，前一个月的通胀率为4％，前一个月为3％。AR（1）和AR（2）两个模型的结果有什么区别？

AR（1）模型预测下个月的通货膨胀率约为1.5703+ 0.4510（4）=3.37％，而AR（2）模型预测下个月的通货膨胀率将为1.8953+ 0.5406（4）-0.2015（3）=3.45％。如果分析师使用了错误的AR（1）模型，则她预计的通货膨胀率将比使用AR（2）模型低8个基点（3.37％对3.45％）。这个错误的预测结果可能会对公司的投资表现产生不利影响。

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