爪型行列式解法 从三道习题看行列式计算在二次型化简中的应用

行列式理论是高等代数课程中的一个重要理论, 其地位虽然远不及矩阵, 但行列式的应用十分广泛, 例如: 线性方程组的求解 (Cramer 法则), 矩阵非异性的判定, 矩阵秩的计算 (秩的子式判别法, 高代教材定理 3.6.2), 矩阵特征多项式的计算, 二次型的化简和实对称阵正定性的判定 (高代教材定理 8.4.3) 等. 另外, 行列式理论还可以应用于重积分的变量代换, 微分方程组的求解和天体力学的研究等.

本文旨在通过三道习题的讨论, 展示行列式理论在二次型化简中的相关应用. 首先, 我们给出下面的引理, 这是由行列式计算确定二次型的标准型的关键一步.

引理 (高代白皮书的例 8.11) 设 是数域 上的 阶对称阵, 是相伴的二次型, 假设 的前 个顺序主子式 非零, 则经过非异线性变换, 可化为如下标准型:

证明 对阶数进行归纳. 当 时, 结论显然成立. 假设结论对 成立. 设

由于 , 故可对 进行如下的对称分块初等变换 (合同变换):

由于第三类分块初等变换不改变行列式的值, 故

即有

由归纳假设, 存在非异阵 , 使得

令

则

习题 1 (19 级高代 II 每周一题第 14 题) 求下列 元实二次型的标准型:

解 设 阶方阵 , 其中 , 则 是实二次型 相伴的实对称阵. 高代白皮书第一章的解答题 13 就是求行列式 , 让我们引用一下白皮书上的求值过程 (求值方法不唯一): 依次将 的第 行乘以 加到第 行上 (), 就可以得到一个下三角阵 , 其主对角元素分别为 . 由于第三类初等变换不改变行列式的值, 故 .

解法 1 (对称初等变换) 注意到 通过若干次第三类初等行变换可变为下三角阵 以及 的对称性, 故不难验证 再通过若干次对称的第三类初等列变换可变为对角阵 . 具体地, 有如下的对称初等变换:

因此, 的标准型为 .

解法 2 (行列式计算) 由之前 的计算可知 的顺序主子式 , 再由引理可得 的标准型为 .

习题 2 (17 级高代 II 每周一题第 14 题) 求下列 元实二次型的标准型:

解 设 阶方阵 , 其中 , 则 是实二次型 相伴的实对称阵. 高代白皮书第一章的解答题 14 就是求行列式 , 让我们引用一下白皮书上的求值过程 (求值方法不唯一): 依次将 的第 行乘以 加到第 行上 (), 再将第 列依次加到前 列上, 就可以得到一个上三角阵, 其主对角元素分别为 . 由于第三类初等变换不改变行列式的值, 故 .

解法 1 (对称初等变换) 依次将 的第 行乘以 加到第 行上 (), 对称地将第 列乘以 加到第 列上 (), 得到一个对称的爪形矩阵 ; 再将 的第 行乘以 加到第 行上 (), 对称地将第 列乘以 加到第 列上 (); 最后得到对角阵 . 因此, 的标准型为 .

注意到 的顺序主子式 , ,故不能直接利用引理来得到标准型. 下面给出三种方法来克服 这一困难.

解法 2 (行列式计算+行列式的性质) 考虑爪型行列式解法, 即将 的第 行加到第 行上, 再将第 列加到第 列上, 得到对称阵 . 显然, 与 合同, 所以只要求 的标准型即可. 由行列式的性质可知, 的顺序主子式 , , 故由引理可得 的标准型为 .

解法 3 (行列式计算+引理的变种) 在引理证明的归纳过程中, 把起点设置为 , 故二次型可化简为:

令 , , 则二次型最终可化简为 .

解法 4 (行列式计算+特征值+摄动法) 由正交相似标准型理论可知, 存在正交阵 , 使得

其中 是 的全体特征值. 对任意的正数 ,

记 的顺序主子式为 . 由于

故 , 又 , 从而可取 , 使得 与 同号 (), 与 同号 (). 注意到 0" data-formula-type="inline-equation">, , 故由引理可知, 合同于 , 于是 有 个正特征值, 个负特征值. 不妨设 0" data-formula-type="inline-equation">, , 从而由假设可知 0" data-formula-type="inline-equation">, , 因此 也合同于 , 从而规范标准型为 .

习题 3 (高代白皮书第八章的解答题 7) 求下列 元实二次型的标准型:

解 二次型 相伴的实对称阵为

下面给出四种解法.

解法 1 (对称初等变换) 我们用归纳法来确定 的合同标准型 , 其中 dfrac{1}{2},(1leq ileq n)" data-formula-type="inline-equation">. 取定 , 显然 dfrac{1}{2}" data-formula-type="inline-equation">. 假设矩阵的左上角已化为对角阵 , 其中 dfrac{1}{2},(1leq ileq k-1)" data-formula-type="inline-equation">, 我们来确定 . 将第 行乘以 加到第 行 (消去第 -元素 ), 再将第 列乘以 加到第 列 (消去第 -元素 ), 最后可得

由 dfrac{1}{2}" data-formula-type="inline-equation"> 可得 dfrac{1}{2}" data-formula-type="inline-equation">. 递推关系式 (*) 整理后可得

由此可得 . 因此, 的标准型为 .

解法 2 (行列式计算) 由高代白皮书的例 1.23 可知, 的顺序主子式 , 再由引理可得 的标准型为 .

解法 3 (配方法) 用配方法将 化为

故 至少是半正定型. 进一步, 若上式等于零, 则显然有 , 因此 是正定型, 其规范标准型为 .

解法 4 (特征值) 由高代白皮书的例 6.40 可知, 的全体特征值为 . 注意到所有特征值 0" data-formula-type="inline-equation">, 故 是正定阵, 从而 是正定型, 其规范标准型为 .

参考文献

[1] 高代教材: 姚慕生,吴泉水爪型行列式解法, 谢启鸿 编著, 高等代数学 (第三版), 复旦大学出版社, 2014.

[2] 高代白皮书: 姚慕生, 谢启鸿 编著, 学习方法指导书: 高等代数 (第三版), 复旦大学出版社, 2015.

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