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都置顶了“玩转初中数学”
【前导知识】
1、多边形的内角和外角
【一般n边形】
多边形的内角和：(n-2)180°
多边形的外角和：360°
【正n边形】
正n边形：每个外角(图中∠2)=360°/n
边数n，∠1，∠2，180°，360°的关系：
①∠1+∠2=180°
②∠2=360°/n
由①②得：
∠1=180°- 360°/n
（也可以根据n∠1=(n-2)180°推出）
2、多边形的对角线
从n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线，把这个多边形分成(n-2)个三角形，n边形共有n(n-3)/2条对角线
【题型展示】——自己先做
题型1——求多边形的边数和角度
【例1】
（1）多边形的外角和等于_______
（2）7边形的内角和等于________
（3）一个多边形的内角和为1260°，它是___边形
（4）内角和是外角和的4倍，它是_____边形
（5）一个正多边形的一个外角为72°，它是____边形
（6）正多边形中，一个外角等于一个内角的2/5，它是____边形
（7）一个多边形的每个内角都等于140°，它是____边形
题型2——求对角线的条数
【例2】
（1）一个多边形的内角和与外角和的比是2：1，求这个多边形对角线的条数，一个顶点可以引出的对角线条数，能把多边形分成的三角形个数
（2）从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引出7条对角线，则它是____边形
（3）一个多边形共有20条对角线，它是____边形（学完一元二次方程再做）
【题型讲解】——注重方法
【例1】
（1）多边形的外角和等于_______
【解】 360°
（2）7边形的内角和等于________
【解】 (n-2)180°=(7-2)×180°=900°
（3）一个多边形的内角和为1260°，它是___边形
【解】 (n-2)180°=1260°，解得：n=9
（4）内角和是外角和的4倍，它是_____边形
【解】 (n-2)180°=360°×4，解得：n=10
（5）一个正多边形的一个外角为72°，它是____边形
【解】 360°÷72°=5
（6）一个多边形的每个内角都等于140°，它是____边形
【解】
每个外角为180°-140°=40°
边数=360/40=9
（7）正多边形中，一个外角等于一个内角的2/5，它是____边形
【解】
设正多边形一个内角为x度，
则一个外角为2/5x度
x+2/5x=180，
解得：x=900/7
所以，一个外角为2/5×900/7=360/7
边数=360÷360/7=7
【例2】
（1）一个多边形的内角和与外角和的比是2：1，求这个多边形对角线的条数四边形内角和等于多少度，一个顶点可以引出的对角线条数，能把多边形分成的三角形个数
【解】
由题意：
(n-2)180°=360°×2
解得：n=6
所以四边形内角和等于多少度，
该多边形对角线条数有6×(6-3)/2=9
该多边形的一个顶点可以引出6-3=3条，对角线把多边形分成了6-2=4个三角形
（2）从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引出7条对角线，则它是____边形
【解】n-3=7，解得：n=10
（3）一个多边形共有20条对角线，它是____边形（学完一元二次方程再做）
【解】n(n-3)/2=20，即n²-3n-40=0，解得：n=8或n=-5(舍去)
【打怪题】——熟能生巧
基础巩固
1.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引十条对角线，则它是（ ）
A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形
2.八边形的内角和为（ ）[来源:学科网ZXXK]
A.180° B.360° C.1080° D.1440°
3.若一个多边形的外角和是内角和的25，则这个多边形的边数为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
4.［湖北宜昌中考］设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（ ）
A.a>bB.a=b C.aD.b=a+180°
5.若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 边形.
6.如果一个正多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的内角和为 .
7.已知一个多边形的每个外角都相等，一个内角与其外角的度数之比为9∶2，则这个多边形的边数为 .
8.一个凸多边形的一个内角的外角与其他内角的和为500°，求这个多边形的边数.
能力提升
9.过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截去两个角后，它的内角和为1 260°，则这个多边形为（）[来源:学。科。网]
A.十边形 B.十一边形
C.十二边形 D.十边形或十一边形
答案
基础巩固
1. A 解析：令n-3=10，则有n=13.所以这个多边形为十三边形.故选A.
2. C 解析：八边形的内角和为（8-2）×180°=1 080°.故选C.
3. C 解析：令（n-2）×180°×25=360°，解得n=7.故选C.
4. B 解析：∵四边形的内角和等于a，∴a=（4-2）×180°=360°.∵五边形的外角和等于b，∴b=360°.∴a=b.故选B.
5. 五 解析：（n-2）×180°=540°，解得n=5.
6. 1800° 解析：∵一个多边形的每个外角都是30°，∴n=360°÷30°=12.∴这个多边形的内角和为（12-2）×180°=1800°.
7. 11 解析：设多边形的一个内角为9x度，则其外角为2x度.依题意，得9x+2x=180，解得x=180/11.所以多边形的边数为360÷2×180/11=11.
8. 解：设这个多边形的边数为n，这个内角的度数为x.则有180°-x+（n-2）×180°-x=500°，
化简，得（n-2）×180°=320°+2x.
令n-2=2，即n=4，则有x=20°；
令n-2=3，即n=5，则有x=110°.
所以当这个内角是20°时，边数为4；当这个内角是110°时，边数为5.故这个多边形是四边形或五边形.
能力提升
9. D 解析：设原多边形的边数为n，截去两个角后，若截线为对角线，则所得多边形的边数为（n-2），依题意，得（n-2-2）×180°=1260°，解得n=11；若截线不是对角线，则所得多边形的边数为（n-1），依题意，得（n-1-2）×180°=1 260°，解得n=10.所以这个多边形原来的边数是11或10.故选D.
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