A为n×n的方阵且有
，其中λ为一标量，则称λ为向量v对应的特征值，也称v为特征值λ对应的特征向量。即特征向量被施以线性变换A只会使向量伸长或缩短而其方向不被改变。大小为nxn的方阵总是具有n个特征值，每一个对应一个特征向量。特征值指定特征向量的大小。如下图所示：
二、求解特征值与特征向量
|A-λE|称为矩阵A的特征多项式，记作f(λ)。
求解特征值和特征向量的步骤如下：
(1)计算特征多项式|A-λE|;
(2)求|A-λE|=0的所有根，即A的所有特征值;
(3)对每个特征值λ0，求解齐次线性方程组
的一个基础解系ξ1,ξn,则
为A对应于λ0的全部特征向量。
例如：
三、特征值的性质
设n阶矩阵A=(aij)的特征值为λ1，λ2，…，λn，则
矩阵的迹(trace):矩阵A主行列式的元素和也是所有特征值的和称为矩阵A的迹，记作tr(A)。
正定矩阵：所有特征值都为正数的矩阵称为正定矩阵。
半正定矩阵：所有特征值都为非负数的矩阵称为半正定矩阵。
四、特征分解(EVD)
特征分解又称谱分解，是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法(可类比于整数分解质因数)。只有可对角化矩阵才可以进行特征分解。任意一个实对称矩阵都可以对角化,故可分解为实特征向量和实特征值。
假设n×n的方阵A有n个线性无关的特征向量
矩阵迹的性质，对应着特征值
。将特征向量连接成一个矩阵，使得每一列是一个特征向量:
。将特征值也连接成一个向量
。因此矩阵A的特征分解记作：
其中V是n×n方阵，且其第i列为A的特征向量。Λ是对角矩阵矩阵迹的性质，其对角线上的元素为对应的特征值，也即
。
五、实对称矩阵特征分解的性质：
(1)实对称矩阵的特征值都是实数；
(2)实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交；
(3)设A是n×n的实对称矩阵，则存在正交阵Q，使
为对角阵（正交阵的逆等于其转置,A有n个线性无关的特征向量）。
注意：
1、特征分解只针对方阵而言！！！奇异值分解用于非方阵！
2、一个矩阵和一个向量相乘的意义在于对该向量做个旋转或伸缩变换。
3、一个矩阵的转置与它相乘的结果是对称阵！即ATA是一个对称阵。
Python求矩阵的特征值与特征向量并证明方阵的特征分解：
# -*- coding:utf-8 -*-
import numpy as np
R=np.array([[12,6,1],[6,8,0],[1,0,6]],dtype=float)
print ‘R=’, R
a,b=np.linalg.eig(R) #求方阵的特征值和特征向量
print ‘a=’,a
print ‘b=’,b
x=np.diag(a) #将矩阵对角化
print ‘x=’,x
y=np.dot(b,x) #实现两个矩阵相乘
print ‘y=’,y
z=np.dot(y,b.T) #b.T为矩阵b的转置
print ‘z=’,z
参考文章：
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