1 模型应用价值
门限效应，是指当一个经济参数达到特定的数值后，引起另外一个经济参数发生突然转向其它发展形式的现象（结构突变）。作为原因现象的临界值称为门限值。如果模型的研究对象包含多个个体多个年度，那么就是门限面板模型。在对经济现象进行分析研究时，许多场合使用线性模型的效果并不理想，造成这种状况的一个重要原因在于：经济现象的内在规律是非线性的，需要用非线性模型来刻画，门限回归模型恰恰提供了解决一类非线性问题的手段。在早期门限模型的研究中，研究者主观地确定一个门限值，然后根据此门限值把样本分为多个子样本，但是并未对门限值进行参数估计面板数据回归模型，也不对其显著性进行统计检验。门限值的统计意义较弱。Hansen连续发表了几篇关于门限模型的经典文献，以残差平方和最小化为条件估计门限值，并构建检验门限值显著性的统计量，克服了传统做法主观设定门限值可能导致的偏误。
我们考察不同行业、产业、国家、区域、城市等情形下产出增长的情况时，可以通过设定相应虚拟变量，构建变系数面板模型，并检验其结构是否发生改变。然而，若是考虑不同规模城市的经济产出、污染排放等问题时，如何定义中心城市、外围城市？划分标准具体数值是多少？即以多大的城市GDP数值划分城市经济规模大小？也就是门限值是多少？
2模型应用领域
门限自回归(TAR)模型在经济学中有着巨大的影响(Tong, 2015)。Hansen (2011)回顾了75篇计量经济学和经济学的研究论文，其中不乏具有高被引度的TAR模型实证应用文献。根据Hansen的归纳，TAR模型实证应用大概包括以下几个方面：(1)经济产出增长：(2)经济变量的预测；(3)利率；(4)价格；(5)股票收益率；(6)汇率。我们选择了一些在不同领域以中国为背景门限模型的应用文献，以供参考。
(1)经济产出
王燕、徐妍, (2012)根据中国2000-2008年20个制造行业的面板数据,建立了以产业空间集聚水平为门限变量的双门限回归模型, 发现产业空间集聚的影响存在门限效应,其影响力随集聚水平的提高而逐步减弱,集聚规模存在最佳边界。孙叶飞等,( 2016)使用面板门槛模型,实证检验了新型城镇化发展与产业结构变迁的经济增长效应，发现新型城镇化发展与产业结构变迁的经济增长效应因产城关系的阶段性不匹配而存在“门槛效应”。
(2)金融
赵振全等(2007)使用门限模型验证金融发展和经济增长之间呈现出显著的非线性关联,否定了通常将两者关系设定为线性的研究模式。Jiang & Zhang (2018)基于64个国家1984-2012年的面板数据，采用多门限模型对资本账户自由化对国家总生产力的门槛效应进行了实证检验, 表明不同发展水平的国家资本账户自由化对全要素生产率存在异质性影响，存在“门限效应”。邓创等(2018)选用门限向量自回归模型考察了货币政策独立性对货币政策产出效应和价格效应的非线性影响机制, 发现当货币政策独立性处于高区制时，货币政策能发挥出良好的逆风向调控效果。
(3)创新
近年，不断有学者尝试在传统知识产出模型中发现非线性规律，门限模型成为较合适的实证工具。王鹏、吴思霖 (2019)通过构建非线性的门限回归模型,探讨研发投入对高新区集聚发展影响的门限效应；杨武等(2019)以中国专利密集型产业2006-2015年数据为样本，利用门限回归模型检验资本投入和人员投入对技术创新绩效的非线性影响。
3面板数据门限回归模型的假设、检验和估计
Hansen的早期研究为门限回归模型的假设、检验和估计做出了重要的贡献，包括Hansen (1999)、(Hansen (2000)和Caner and Hansen (2004)的研究文献。这些文献介绍了包含个体固定效应的静态平衡面板数据门限回归模型的系数估计方法；样本数量有限时，如何用自举法提高门限效应检验效率；包含内生性解释变量时，使用二阶段最小二乘法(2SLS)或广义矩估计(GMM)方法对系数进行估计。如读者希望了解近年更新的研究，也可以参考Hansen (2017)研究文献。
参考Hansen (1999)的文献，考虑一个具有个体效应的二机制静态平衡面板数据门限回归模型，如下：
I(·)为示性函数，
为门限变量，
为要估计的门限值，
为解释变量。
门限回归模型估计原理主要根据最小化残差平方和原理。第一步，给定的取值，使用OLS估计给定门限值下的系数，并计算残差平方和。第二步，选择使残差平方和最小的。对多个门限值的回归模型面板数据回归模型，估计方法类似，只是门限值搜索过程需更多计算步骤。
存在门限效应是使用门限回归模型的前提，因此门限回归模型需检验以门限值划分的子样本的系数估计参数是否显著不同。对二机制门限回归模型，检验是否存在门限效应可检验原假设：
若原假设成立，则不存在门限效应，模型退化为线性模型。
若无门限效应假设下得到的残差平方和
大于存在单一门限效应下得到的残差平方和
，则越倾向拒绝原假设。在此思路下，Hansen提出似然比检验统计量：
由于该统计量不服从标准分布，Hansen(2000)提出通过自举法获得渐进分布，进而得出相应概率。类似地，对多门限回归模型也需检验是否存在门限效应，以双门限回归模型为例：
可检验原假设
。
4面板数据门限回归模型的扩展
面板数据门限回归模型是解决非线性问题的一个重要方法，因此门限回归模型与其他经典计量模型相结合，可以在新的计量框架里解决非线性问题。这里介绍面板数据门限回归模型与空间模型的两种结合思路：其一，是在经典空间模型，如空间自回归(SAR)模型、空间误差(SEM)模型、空间杜宾(SD)模型、广义嵌套空间模型中，加入具有门限效应的解释变量；其二是考虑空间依赖关系的非线性问题，测算空间滞后项在各子样本下的系数。
对第一种结合思路构建的空间面板数据门限回归模型，以广义嵌套空间模型举例：
当模型中部分空间滞后项系数为0，则模型简化为相应空间面板门限模型。
对第二种结合思路，Deng, (2018)构建了空间自回归(SAR)模型与面板数据门限回归模型结合的TSAR模型：
对于第一种模型，假设外生变量具有门限效应，我们可以首先构建空间滞后项的工具变量，代入后使用面板数据门限回归模型的估计方法得到系数估计值(Hansen，1999)。但对于第二个模型，由于空间滞后相关变量与误差项和门限值相关，不能直接得到空间滞后项的工具变量。具体估计方法可参考Deng(2018)提出的空间两阶段最小二乘(S2SLS)估计方法。
对于第一种模型，假设外生变量具有门限效应，我们可以首先构建空间滞后项的工具变量，代入后使用面板数据门限回归模型的估计方法得到系数估计值(Hansen，1999)。但对于第二个模型，由于空间滞后相关变量与误差项和门限值相关，不能直接得到空间滞后项的工具变量。具体估计方法可参考Deng(2018)提出的空间两阶段最小二乘(S2SLS)估计方法。
5 Stata15.0的命令
①xthreg (需要stata13及以上版本)
xthreg depvar [indepvars] [if] [in], rx(varlist)qx(varname) [thnum(#) grid(#) trim(numlist) bs(numlist)thlevel(#) gen(newvarname) noreg nobslog thgiven options]
where,rx(varlist) is the regime-dependent variable.核心解释变量
qx(varname) is the threshold variable. 门限变量
thnum(#) is the number of thresholds. 门限个数
grid(#) is the number of grid points. Thedefault is grid(300).格点数
trim(numlist) is the trimming proportionto estimate each threshold.搜索步距
bs(numlist) is the number of bootstrapreplications.自举法次数
gen(newvarname)generates a new categorical variable with 0, 1, 2, ... for each regime.
noregsuppresses the display of the regression result.
nobslogsuppresses the iteration process of the bootstrap.
thgivenfits the model based on previous results.
optionsare any options available for [XT] xtreg.
Time-series operators are allowed in depvar, indepvars, rx(), and qx().
② xtptm varlist , rx(varlist) thrvar(varname) [ trim(real 0.05) ///
iters(integer0) grid(integer 0) regime(integer 1) ]
rx: regime dependent variables
thrvar: threshold variable
trim: trimmed proportion for search of threshold
iters: iterations for bootstrapping to compute p-value
grid: number of grids for search of threshold
regime: number of threshold, default is 1
6软件操作
以xtptm安装包中自带的数据test32为例，演示面板数据门限回归模型的stata操作流程，
①输入平衡面板数据
打开数据文件。若个体变量id不是数字，而是如地名、行业名称等，使用encode命令生成newid。命令如下
·encode id, gen(newid)
·xtset newid year %整理为面板数据
②从三门限(四机制)模型开始，检验是否存在门限效应，找到机制数。
以depr为被解释变量，dcpi、drgdp为外生解释变量，bcdepr为具有门限效应的解释变量，rentr为门限变量，构建模型：
输入命令
·xthreg depr dcpi drgdp,rx(bcdepr) qx(rentr) thnum(3) trim(0.01 0.05 0.05) grid(300) bs(300 300 300)
根据prob值，选择双门限(三机制)模型。
③进行双门限(三机制)模型的回归估计。
输入命令
·xthreg depr dcpi drgdp, rx(bcdepr) qx(rentr)thnum(2) trim(0.01 0.05) grid(300) bs(300 300)
④绘图
输入命令
. _matplot e(LR21), columns(1 2) yline(7.35,lpattern(dash)) connect(direct) msize(small) mlabp(0) mlabs(zero)ytitle("LR Statistics") xtitle("First Threshold")recast(line) name(LR21) nodraw
. _matplot e(LR22), columns(1 2) yline(7.35, lpattern(dash)) connect(direct)msize(small) mlabp(0) mlabs(zero) ytitle("LR Statistics")xtitle("Second Threshold") recast(line) name(LR22) nodraw
. graph combine LR21 LR22, cols(1)
提取码：w6h7
参考文献
邓创、付蓉、徐曼, 2018：《中国货币政策的独立性会影响调控效果吗——基于门限向量自回归模型的实证研究》,《经济学家》, 第 12 期。
孙叶飞、夏青、周敏, 2016：《新型城镇化发展与产业结构变迁的经济增长效应》,《数量经济技术经济研究》, 第 11 期。
王鹏、吴思霖, 2019：《研发投入对高新区集聚发展影响的门限效应》,《科学学研究》, 第 06 期。
王燕、徐妍, 2012：《中国制造业空间集聚对全要素生产率的影响机理研究——基于双门限回归模型的实证分析》,《财经研究》, 第 03 期。
杨武、杨大飞、雷家骕, 2019：《R&D投入对技术创新绩效的影响研究》,《科学学研究》, 第 09 期。
赵振全、于震、杨东亮, 2007：《金融发展与经济增长的非线性关联研究——基于门限模型的实证检验》,《数量经济技术经济研究》, 第 07 期。
Deng, Y., 2018,"Estimation for the Spatial Autoregressive Threshold Model", EconomicsLetters, 171: 172-175.
Hansen, B. E.,1999, "Threshold Effects in Non-Dynamic Panels: Estimation, Testing, andInference", Journal of Econometrics, 93(2): 345-368.
Hansen, B. E.,2000, "Sample Splitting and Threshold Estimation", Econometrica,68(3): 575-603.
Hansen, B. E.,2011, "Threshold Autoregression in Economics", Statistics and itsInterface, 4(2): 123-127.
Hansen, B. E.,2017, "Regression Kink with an Unknown Threshold", Journal ofBusiness & Economic Statistics, 35(2): 228-240.
Jiang, C. andZhang, P., 2018, "Threshold Effects of Capital Account Liberalization onProductivity: Bootstrap Method in Non-Dynamic Panels", WirelessPersonal Communications, 102(2): 713-723.
Tong,H., 2015, "Threshold Models in Time Series analysis-SomeReflections", Journal of Econometrics, 189(2): 485-491.
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