开场故事
13世纪，欧洲普鲁士王国的腓特烈二世，听说意大利有个解题能手叫斐波那契，聪明过人。腓特烈二世邀请斐波那契参加王宫的科学竞赛。参加科学竞赛的还有来自欧洲各国的数学家。
斐波那契的表情包
腓特烈二世出的第一道题是：
“求一个数x，使x²+5与x²-5都是平方数。”
参加竞赛的人都在紧皱双眉冥思苦想，而斐波那契用他独创的方法得出答案3又12分之5。有人不信他能算得这样快，做了一下验算：
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完全正确！
用代数的方法，
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腓特烈二世又出了一道题：
“有一笔款，甲、乙、丙三人各占二分之一，三分之一，六分之一。现各从中取款若干，直到取完为止。然后，三人分别放回自己所取款的二分之一，三分之一，六分之一，再将放回的钱平均分给三人，这时各人所得恰好是他们应有的。问原来钱多少？第一次各取多少？”
这道题本身就挺绕人，有人听了三遍题还没有把题目的意思弄懂。可是斐波那契已经把答数交给腓特烈二世了。答案是：总数是47元，第一次甲取33元，乙取13元，丙取1元。
这个答案对不对呢？我们根据题意来验算一遍：
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答案正确，是怎么算出来的呢？
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解上图所示的方程组，就得到答案了。
首先，如下图所示，去分母，化分式方程为整式方程。接下来用消元法解方程组。最后得到下面的答案：x=47，u=33，v=13，w=1。
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手算四元一次方程组的核心思想是消元。《九章算术》有解三元一次方程组的经典例题。消元后把求解出来的未知数回代入方程求解其余未知数。
大约比斐波那契晚百年左右，元朝数学家朱世杰著作《四元玉鉴》中介绍了四象朝元：四元高次方程组的解法。
利用办公软件Excel提供的MDETERM、MINVERSE和MMULT等函数即可求解多元一次方程组。MDETERM函数返回一个数组的矩阵行列式的值，可用其判断矩阵是否可逆；MINVERSE函数返回矩阵的逆矩阵；MMULT函数返回两个数组的矩阵乘积。
通过这次竞赛，斐波那契名声大震。有人评论说，斐波那契的水平显得比他实际水平高，这是因为没有与他匹敌的同时代人。
中世纪欧洲最伟大的数学家
斐波那契生于意大利的比萨，父亲是商人。他早年跟随父亲到北非，后又到埃及、叙利亚、希腊、西西里岛和法国游历。他每到一国，都注意该国数学的发展情况。通过比较各国使用的算术行最简矩阵怎么化简，他认为阿拉伯数字和算法最先进。斐波那契返回意大利之后，于1202年写成一部数学专著，起名叫《算盘书》。这本书被欧洲各国选作数学教材，使用达200年之久，在欧洲有巨大的影响。
《算盘书》全书分15章。前7章为十进制的整数及分数的计算问题；第8～11章有适合商业计算的比例、利息和级数求和问题；第12~13章是求一次方程的整数解问题;第14章是求平方根与立方根的法则；第15章是几何度量和代数。《算盘书》内容丰富，方法先进，向欧洲普及了阿拉伯数字,推动了欧洲数学的发展。
斐波那契数列
《算盘书》中有一道非常出名又十分有趣的题目——“兔子问题”。
有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙将一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔，而一对小兔子生下后第二个月就又开始生小兔。假如一年内没有死亡，一对兔子一年内可繁殖成几对?
如果用 A 表示一对成年的大兔,用 B 表示一对未成年的小兔。它们的增长规律是:
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从上面这个表可以看出，开始是1对小兔，一个月后变成1对大兔，两个月后变成2对兔子，三个月后变成3对兔子，四个月后变成5对兔子，五个月后变成8对免子……有什么规律没有?我们可以多写出几项来观察，
1,1,2,3,5,8,13,21,34, ... (1)
不难发现，从第三项开始，每后一项都等于相邻的前两项之和，如2=1+1，3=2+1，5=3+2， ...
19世纪，法国数学家敏聂给出了表示上面一串数（1）的一般公式：
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“斐波那契数列”有许多奇妙的性质，在物理学和生物学上有着广泛的应用。数学家泽林斯基在一次国际数学会议上提出树木生长问题：如果一棵树苗在一年以后长出两条新枝，然后休息一年。在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝（如下图）。这样，第一年只有主干，第二年有2枝，第三年有3枝，接下去是5枝、8枝、13枝等。把这些枝数排起来，恰好是“斐波那契数列”。生物学中所谓的“鲁德维格定律”，实际就是“斐波那契数列”在植物学中的应用。
《算盘书》中的恒等式
等式(a+b)(a-b)=a²-b²在代数里是常见的。这个等式中a和b无论取什么数都是正确的，我们把它叫作“恒等式”。《算盘书》中出现了比较复杂一点的“斐波那契恒等式”：
(ac-bd)²+(bc+ad)²=(a²+b²)(c²+d²)......(1.1)
它可以从熟知的公式(a+b)²=a²+2ab+b²入手来验证。把它的左边乘出来：
(ac-bd)²+(bc+ad)²
=(a²c²-2abcd+b²d²)+(b²c²+2abcd+a²d²)
=a²c²+b²d²+b²c²+a²d²
=(a²c²+a²d²)+(b²c²+b²d²)
=a²(c²+d²)+b²(c²+d²)
=(a²+b²)(c²+d²)
这正是(1.1)式的右边。
乘法公式也是恒等式，是整式的乘法的特殊形式。整式的乘法是以幂的运算性质为基础，与因式分解是互逆变形。以完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²为例，从左到右，可以看作整式的乘法；从右到左，可以看作因式分解。
上面演示的斐波那契恒等式的变形可以看作因式分解。首先用乘法公式展开，再整理化简，再进行因式分解。在因式分解的过程中，使用了分组分解法，并连续使用了提公因式法，请同学们认真学习和体会。
由斐波那契恒等式(1.1)可以得出一些有趣的结果：如果两个数中每一个数又都是两个平方数之和，则乘积也是两个平方数之和。比如
13=9+4=3²+2²
41=25+16=5²+4²
则 13×41=(3²+2²)(5²+4²)
=(3×5-2×4)²+(2×5+3×4)²
=7²+22²
=49+484
=533
斐波那契恒等式有两个，第二个是
(ac+bd)²+(bc-ad)²=(a²+b²)(c²+d²)......(1.2)
我们接着验证第二式：
13×41=(3²+2²)(5²+4²)
=(3×5+2×4)²+(2×5-3×4)²
=23²+(-2)²
=529+4
=533
18世纪瑞士著名数学家欧拉，发现了下面一个恒等式：
(a₁²+a₂²+a₃²+a₄²)(b₁²+b₂²+b₃²+b₄²)
=(-a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+a₄b₄)²+(a₁b₂+a₂b₁+a₃b₄-a₄b₃)²+(a₁b₃-a₂b₄+a₃b₁+a₄b₂)²+(a₁b₄+a₂b₃-a₃b₂+a₄b₁)²
.......(2)
要想验证这个恒等式(2)并不困难，把等式两边各自都乘出来，再利用公式
(x₁+x₂+x₃+x₄)²
=x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃+2x₁x₄+2x₂x₄+2x₃x₄
就可以证出，只是麻烦一些，要细心一点。
由恒等式(2)可以得出：如有两个数行最简矩阵怎么化简，其中每个数都是四个平方数之和，则这两个数的乘积也是四个平方数之和。
早在17世纪，法国数学家费马就猜想：每个正整数都可以表示成最多是四个平方数之和。费马本人并没有给出证明。
18世纪，法国数学家拉格朗日利用恒等式(2)对费马猜想给出了一个很出色的证明，使费马猜想变成了费马定理。
在费马定理的基础上，法国数学家刘维尔提出：每个正整数都可以表示成最多是53个四次方数之和。
以上内容来自：李毓佩《代数的威力》，湖北科学技术出版社，中国盲文出版社，2020年。
特别收录
下面是《数学辞海》第一卷和第六卷的一些与本文相关的资料。
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