中考几何压轴 50 辅助线法则 终极经典解析 动态线段比最值 指导思想
这一系列，不限专题，解析系列经典几何题，提高几何分析解决问题能力。
题57. 《动态线段比最值》
如图，△ABC中，AB＝8，BC＝7，AC＝5。D是BC边上动点e的运算法则，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；作DG∥AC交AB于G，DH∥AB交AC于H。连接EF、GH，求EF/GH的最大值。
〖一般性提点〗
做点整理。本题难度还是挺高的。但也许因此，能更加突出基本思想和方法的重要性。犹豫再三，还是拿出来讲讲。有了明确的指导思想，题还真不算很难。
[1]. 线段的三角不等式
线段最值问题的基本原理归结到三角不等式当中：. 两点之间直线段最短（三角形中两边之和大于第三边）；. 点到直线，垂线段最短（Rt三角形中，斜边大于直角边）；以及. 三角形中，任意两边之差的绝对值，小于第三边。
此外，也有将几何最值问题转化为代数最值问题的方法，这一方法基本逻辑：. 设置适当的未知数；. 基于几何原理建立相关线段的表达；.建立相关线段比关于未知数的表达；. 用代数方法求最值。
[2]. 角度/线段分析不可或缺
这是分析几何问题的基本手段。在这里特别提醒的是e的运算法则，已知三角形三边，三角形的三个角是确定可解的。所谓“无巧不成题”，此种情形下就要计算一下，是否有特殊角存在。
[3]. 动态线段的定比转移
基本思想是将两条动态线段定比转移到某一个三角形当中（可能需要多次转移）。所谓定比转移，意思是在动态过程中，转移对象与被转移对象之比保持不变。结果或为如下情形之一：
. 转移到某一直角三角形当中（以本题EF、GH为标记）
. 转移到一般三角形当中
以上[1] ～[3] 就是此类问题基本的指导思想和方法手段。
〖题目分析〗
根据题设，作EM∥GH，交DH于M，连接FM，显然EM/GH＝1，在△EFM中，若FM也是GH的定比转移线段，问题就OVER了。（线段的定比转移）
那么分别含有GH和FM的三角形相似且相似比为定值，就妥了。这就将视线集中到了△GHA和△FMH上。
角度/线段分析
先计算有无特殊角（没有特殊角，只影响手算可能性）
计算可知，λ＝5/2，说明∠A＝60°；
角度分析结果示于图。
EGHM是平行四边形：MH＝EG，EG＝DG/2（△DEG中）；
DGAH是平行四边形：DG＝AH，从而MH＝AH/2,
若能证明FH＝AG/2,两个三角形就相似了。
在Rt△DFH中，FH＝DH/2，而在平行四边形DGAH中，DH＝AG，∴FH＝AG/2
于是△GHA∽△FMH（SAS）；
从而 FM＝GH/2;
在△EFM中：EM＋FM≥EF，即
GH＋GH/2≥EF
∴ EF/GH≤3/2
max(EF/GH)＝3/2
当E、M、F共线时，取得最大值：
此时BD＝4.3（这个就不要计算了，只供参考）。不管怎样，取得最值的时候，图像是最美的：AHDG是菱形，△DEF是等腰三角形，△AEF是等边三角形，△AGH是等边三角形，等等。。。这都是闲话。
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