四则运算，就是加减乘除，先算乘除再算加减，再后来学了点再高的两种：乘方开方，出现时也得先算。到了高中我们定义了很多高级运算，如指数对数运算，三角与反三角运算，函数复合运算以及导数、向量运算、矩阵行列运算、排列组合、统计概率运算、复数运算等，从而使我们的数学思维达到了前所未有的高度。每出现了一个新运算，除自身意义弄懂外，也都离不开通常的四则运算。学习新知必须先弄懂规则。今天在这儿给大家总结一下：
一、复数四则运算：设复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，d∈R，
则 z1±z2=（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i，
（a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i，
（a+bi）÷(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +((bc-ad)/(c^2+d^2))i 其实两复数相除指数函数的运算法则与公式，完全可以转化为两复数相乘.只需要分子分母同时乘以分母c+di的共轭复数c-di即可。这叫分母实数化。
复数的加法乘法运算律：交换结合分配律仍成立。
z1+z2=z2+z1 （z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
z1z2=z2z1 z1(z2z3)=(z1z2)z3
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
二、向量的运算法则：向量有大小有方向，是个箭头，有自己的运算规则。
1。向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.
向量的加法OA+AB=OB；a+b=(x+x’,y+y’).a+0=0+a=a.
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0
向量的减法：AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减”
a=(x,y)b=(x’,y’) 则a-b=(x-x’,y-y’).
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.
当λ＞0时,λa与a同方向；当λ＜0时,λa与a反方向；当λ=0时,λa=0,方向任意.
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.
当B=λa时，B平行A。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.
4、向量的数量积（点积）是个数量，
定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉（十分重要，求距离）；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x’+y·y’.
向量的数量积的运算律
a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a·b=0.
|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.
2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
5、向量的向量积（叉积）是个向量。
6向量的数量积与复数乘积并不相同（虽然复数可以用向量表示）对于复数积（a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i， 而向量积是A·B=ac+bd.
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉（十分重要，求距离）；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=0.a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
a×（b+c）=a×b+a×c.
注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.
三、导数的加减乘除：设u(x),v(x)可导，
则(u±v)′=u′±v′，(uv)′=u′v+uv′，(u/v)=(u′v-uv′)/v² (v≠0)
四、指数运算法则
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(a^m)*（a^n）=a^(m+n)
同底数幂相除，底数不变指数函数的运算法则与公式，指数相减；(a^m)÷（a^n）=a^(m-n)
幂的乘方，底数不变，指数相乘；(a^m)^n=a^(mn)
积的乘方，等于每一个因式分别乘方；(ab)^n=(a^n)(b^n)
五、对数运算法则［log(a)(x)表示a为底x的对数］
log(a)(x)＋log(a)(y)=log(a)(xy); log(a)(x)－log(a)(y)=log(a)(x/y)
log(a^m)(x^n)=(n/m)log(a)(x)
换底公式log(a)(x)=log(b)(x)/log(b)(a)=lg(x)/lg(a)=ln(x)/ln(a)
六、三角函数运算
正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x
余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y
两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·倍角公式： 升次角减半
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
降幂公式 ：降幂角增倍
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
七、反三角函数的运算公式
cos(arcsinx)=√(1-x^2) arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x
八、排列组合公式：
排列有序，分步完成；组合无序，注意去重！
排列的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外规定0!=1
(n!表示n(n-1)(n-2)…1,也就是6！=6x5x4x3x2x1）
组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。C(n,m)=A(n,m)/m！；C(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)
其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m!=n!/m!(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,…nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×…×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。下面看一个文科生的感悟。
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